In einer Musikerfamilie aufwachsend soll er bereits mit sechs Jahren seine ersten Kompositionen geschrieben haben. Nach einer klassischen Ausbildung am Moskauer Konservatorium ab 1976 emigrierte Nabatov 1979 mit seinen Eltern über Wien und Rom nach New York City. Seit 1989 lebt er auch in Europa, vorrangig in Köln.
Parallel zu seiner Studien an der Juilliard School of Music von 1980 bis 1984 war Nabatov als Jazzmusiker tätig. Es kam zu Aufnahmen und Konzerte mit vielen renommierten Musikern wie z.B. Paul Motian, Tony Scott, Paul Horn, Barry Altschul, Billy Hart, David Murray, Mark Feldman, Chet Baker, Kenny Wheeler, Arto Tunçboyaçiyan und Ed Schuller.
Er war über mehrere Jahre Mitglied in den Quartetten von Perry Robinson, Ray Anderson, Arthur Blythe und Alfred Harth sowie dem Klaus König Orchestra und Eckard Koltermanns Collage 11. Er trat im Duo regelmäßig mit Han Bennink auf, mit Tom Rainey und mit Nils Wogram (mit Wogram auch im Quartett). Im Trio spielte er einerseits mit Ernst Reijseger und Michael Vatcher, andererseits aber auch mit Wolfgang Schlüter und Charly Antolini. Seine eigenen Projekte (von der Soloperformance bis zum Oktett) sind auch auf CD dokumentiert. Dabei fallen besonders seine Auseinandersetzungen mit der Literatur von Michail Bulgakow und insbesondere mit Joseph Brodsky, Daniil Kharms auf, bei denen die Texte kongenial von Phil Minton interpretiert werden.
Nabatov führte auch für ihn geschriebene Kammermusik-Werke auf wie etwa das Piano Concerto for "Baba" von Kenny Werner. Er hat aber auch George Gershwins Rhapsody in Blue und Rolf Liebermanns Concerto for Jazz Ensemble and Orchestra eingespielt.
Als Improvisator und Komponist verblüfft Nabatov durch den souveränen Umgang mit dem Material aus der Welt des Jazz und der klassischen Pianoliteratur: Der spielerische Umgang damit, ein beständiges Verwandeln und Umformen, der Wechsel zwischen Ernst und Ironie gibt dieser eklektischen Musik ebenso viel Offenheit wie Kunstfertigkeit. Hochvirtuos verschachtelte Klavierläufe und rabiat rhythmisierte Cluster wechseln mit stillen Klangstudien à la Morton Feldman, ohne die Tradition eines Bud Powell völlig zu verleugnen.
Er unterrichtete an der Essener Folkwang Hochschule (1989-1991), der International Jazz and Rock Academy in Remscheid (1991-93) und 1998 bis 2001 an der Musikhochschule Luzern.